Esercizi svolti

Dilatazioni termiche

D1
Esercizio: Un righello di acciaio è caratterizzato da una scala di fondo graduata di $1$ millimetro.

Qual è la massima escursione termica a cui può essere soggetto se si vuole mantenere una precisione entro $0,001\text{ mm}$ delle tacche?
Il coefficiente $\lambda$ di dilatazione lineare dell’acciaio è: $11\cdot 10^{-6\circ}C^{-1}$.

Soluzione: Il problema tratta un caso di dilatazione termica lineare, rappresentata da ogni tacca del righello.
Detta $L_0$ la lunghezza iniziale della tacca alla temperatura iniziale $T_0$ e detta $L$ invece la sua lunghezza alla temperatura $T$ vale la legge della dilatazione lineare:
\begin{equation*}L=L_0\cdot (1+\lambda \cdot \Delta T)\end{equation*}

in cui $\lambda$ è il coefficiente di dilatazione lineare e $Delta T$ è la variazione di temperatura (o escursione termica):
\begin{equation*}\Delta T=T-T_0\end{equation*}

In particolare l’allungamento $\Delta L$; vale:
\begin{equation*}\Delta L=L_0\cdot \lambda \cdot \Delta T\end{equation*}
Nel nostro caso:
\begin{equation*}L_0=1\text{ mm}\end{equation*}
$\Delta L=0,001\text{ mm}$ in quanto deve essere la massima dilatazione ammissibile
Per cui risulta:
\begin{equation*}\Delta T=\frac {\Delta L}{(L_0\cdot \lambda)}=\frac {0,001}{(1\cdot 11\cdot 10^{-6})}=90,9^{\circ}\text{C}\approx 91^{\circ}\text{C}\end{equation*}

Dunque la massima escursione termica accettabile per non avere una dilatazione di una tacca oltre la quantità richiesta è $91^{\circ}\text{C}$.

D2
Esercizio: Una bacchetta di rame ha un diametro di $10\text{ cm}$ e alla temperatura di $20^{\circ}\text{C}$ si incastra perfettamente, attraverso un foro, in una lamina di ottone.

Se la temperatura sia della bacchetta che della lamina viene portata a $1540^{\circ}\text{C}$, la bacchetta sarà ancora perfettamente aderente al foro?
E se no valutare l’ampiezza dell’eventuale fessura che si crea tra la bacchetta ed il bordo del foro.
Si sappia che:
\begin{equation*}\lambda_{rame}=1,7\cdot 10^{-5\circ}\text{C}^{-1}\end{equation*}
\begin{equation*}\lambda_{ottone}=1,9\cdot 10^{-5\circ}\text{C}^{-1}\end{equation*}

Soluzione: Trattiamo il diametro della bacchetta di rame e quello del foro della lamina come corpi soggetti alla dilatazione termica lineare.
In particolare l’allungamento $\Delta L$ vale:
\begin{equation*}\Delta L=L_0\cdot \lambda \cdot \Delta T\end{equation*}
Calcoliamo pertanto l’allungamento dovuto al riscaldamento prima del diametro della bacchetta e dopo del foro.
Inizialmente i diametri misurano entrambi $10\text{ cm}$.
Dopo l’escursione termica da $20^{\circ}\text{C}$ a $1540^{\circ}\text{C}$:
\begin{equation*}\Delta d_{rame}=d_0\cdot \lambda \cdot \Delta T=10\cdot 1,7\cdot 10^{-5}\cdot (1540-20)=0,258\text{ cm}\end{equation*}
mentre per la lamina:
\begin{equation*}\Delta d_{ottone}=d_0\cdot \lambda \cdot \Delta T=10\cdot 1,9\cdot 10^{-5}\cdot (1540-20)=0,289\text{ cm}\end{equation*}
Per cui la differenza tra l’elongazione dei due diametri vale:
\begin{equation*}\Delta d_{ottone}-\Delta d_{rame}=0,289\text{ cm}-0,258\text{ cm}=0,031\text{ cm}\end{equation*}
Poiché stiamo trattando di forme circolare, dobbiamo dividere per due il risultato appena ricavato per calcolare il valore della fessura ovvero la differenza tra i due raggi delle due circonferenze che una volta dilatate non sono più perfettamente congruenti.
\begin{equation*}d=\frac{0,031}{2}=0,0155\text{ cm}\end{equation*}

Dunque una volta riscaldato il sistema alla temperatura di $1540^{\circ}\text{C}$, l’ampiezza tra le due circonferenze, quella della bacchetta e quella del foro vale $0,0155\text{ cm}$.

D3
Esercizio: Un disco di stagno $(\alpha =22\cdot 10^{-6\circ}\text{C}^{-1})$ è appoggiato sul bordo di un recipiente cilindrico con raggio interno uguale a $r=15\text{ cm}$ e a temperatura di $T=300\text{ K}$ lo copre con un avanzo di $\Delta r=0,1\text{mm}$. A quale temperatura è necessario portare il disco per farlo cadere nel recipiente?

Soluzione: È ovvio che per far cadere il coperchio si deve provocare un restringimento della superficie in modo tale che la superficie finale sia $S_f=\pi \cdot r^2$ a partire da una superficie iniziale di $S_0=\pi (r+\Delta r)^2$

Lo sbalzo di temperatura (raffreddamento) sarà pertanto, visto che vale la legge di dilatazione superficiale $S_f=S_0(1+2\cdot \alpha \Delta T)\longrightarrow \Delta T=\frac{\frac{Sf}{S_0}-1}{2\alpha}$.
Calcolando le due superfici, si ha: $S_0=0,07078\text{ m}^2(\pi \cdot 0,1501\text{ m}^2)$ e $S_f=0,07068\text{m}^2(\pi \cdot 0,15\text{m}^2)$. Inserendo tali dati, si ha:

\begin{equation*}\Delta T=\frac{(\frac{0,07068}{0,07078}-1)}{(2\cdot 22\cdot 10^{-6})}=-32,11\end{equation*}.

Quindi la temperatura finale sarà di $T_f=300-32,11=267,89\text{ K}$.

Calorimetria

C1
Quesito: Un blocco di rame di massa $m_{Cu}=5\text {g}$ si trova a una temperatura iniziale $T_i=25^{\circ }C$. Al blocco viene fornito un calore $Q=120\text {J}$. Determinare la temperatura finale $T_f$ del blocco sapendo che il calore specifico del rame è $c_{Cu}=0,093\frac{\text {cal}}{\text {g}}^{\circ}C$

Soluzione: Se una quantità di calore $Q$ viene fornita a una sostanza di massa $m$ e calore specifico $c$, senza incorrere in una transizione di fase, allora la temperatura della sostanza varia secondo la legge $Q=mc\Delta T$, da cui $\Delta T=T_f-T_i=\frac{Q}{cm}$. Nel caso in esame $\Delta T=Qm_{Cu}c_{Cu}\Rightarrow T_f=T_i+Qm_{Cu}c_{Cu}$. Il fattore di conversione J−cal è 1cal= 4,186J ,e il calore specifico del rame può essere anche espresso come $c_{Cu}=0,389\frac{\text {J}}{\text {g}^{\circ}\text {C}}$. Perciò

\begin{equation*}T_f=25^{\circ}\text {C}+\left [\frac {120\text {J}}{(5\text {g}\cdot 0,389\frac {\text {J}}{\text {g}^{\circ}\text {C}})}\right ]=86,7^{\circ}\text {C}\end{equation*}

C2
Quesito: Un blocco di rame di massa $m_{Cu}=300\text { g}$ si trova alla temperatura iniziale $T_{iCu}=90^{\circ }\text {C}$. Un blocco di alluminio di massa $m_{Al}=700\text { g}$ si trova invece alla temperatura iniziale $T_{iAl}=43^{\circ}\text {C}$. Essi vengono posti a contatto. Calcolare la temperatura di equilibrio del sistema $T_{eq}$.

Soluzione: Il calore specifico del rame e dell’alluminio sono rispettivamente $c_{Cu}=0,389\frac {\text {J}}{\text {g}^{\circ }\text {C}}$, $c_{Al}=0,9\frac {\text {J}}{\text {g}^{\circ }\text {C}}$. Il corpo più caldo (rame) si raffredda fino alla temperatura di equilibrio. Il corpo più freddo (alluminio) si scalda fino alla temperatura di equilibrio. Poiché non viene scambiata energia col resto del mondo il calore ceduto dal rame $Q_{Cu}$ equivale al calore assorbito dall’alluminio $Q_{Al}$, $Q_{Cu}+Q_{Al}=0\Leftrightarrow Q_{Al}=-Q_{Cu}$. Poiché, date le temperature in gioco, non si ha alcuna transizione di fase, vale che $Q_{Cu}=m_{Cu}c_{Cu}(T_{eq}-T_{iCu})$, $Q_{Al}=m_{Al}c_{Al}(T_{eq}-T_{iAl})$, da cui $m_{Al}c_{Al}(T_{eq}-T_{iAl})=-m_{Cu}c_{Cu}(T_{eq}-T_{iCu})$

\begin{equation*}T_{eq}=\frac{(m_{Cu}c_{Cu}T_{iCu}+m_{Al}c_{Al}T_{iAl})}{(m_{Cu}c_{Cu}+m_{Al}c_{Al})}=50.3^{\circ }\text {C}\end{equation*}

C3
Quesito: Un pezzo di ghiaccio di $300\text { g}$ si trova nel freezer a una temperatura di $-20^{\circ }\text {C}$. Quanto calore è necessario per trasformarlo in acqua alla temperatura di $+20^{\circ }\text {C}$? Si consideri che il calore specifico del ghiaccio è pari a $2220\frac {\text {J}}{(\text {kg}\cdot \text {K})}$.

Soluzione: Prima di tutto dobbiamo portare il ghiaccio da $-20^{\circ }\text {C}$ a $0^{\circ }\text {C}$ . Per calcolare il calore $Q_1$ necessario dobbiamo applicare la legge fondamentale della termologia , non prima di aver convertito la massa del ghiaccio in kilogrammi: $m=300\text { g}=0,3\text { kg}$. A quel punto il calore è dato da:$Q_1=cm\Delta T=2220\cdot 0,3\cdot 20\text { J}=13320\text { J}$. Poi dobbiamo calcolare il calore necessario per fondere il ghiaccio. Il calore latente di fusione del ghiaccio vale $L_f=3,34\cdot 10^5\frac {\text {J}}{\text {kg}}$. Il calore necessario a produrre una fusione completa del blocco di ghiaccio è dato da: $Q_2=L_fm=3,24\cdot 10^5\cdot 0,3\text { J}=10^5\text { J}$. Infine per portare l’acqua ottenuta dalla fusione a una temperatura di 20°C dobbiamo ricordare che il calore specifico dell’acqua vale $4186\frac {\text {J}}{(\text {kg}\cdot \text {K})}$. Avremo pertanto che $Q_3=cm\Delta T=4186\cdot 0,3\cdot 20\text { J}=25116\text { J}$. Il calore totale necessario al processo è

\begin{equation*}Q=Q_1+Q_2+Q_3=1,38\cdot 10^5\text { J}\end{equation*}.

C4
Quesito: Il piombo ha una temperatura di fusione di $320^{\circ }\text {C}$ mentre il suo calore latente di fusione vale $L_f=25000\frac {\text {J}}{\text {kg}}$. Se una sfera di piombo di $3\text { kg}$ si trova a temperatura ambiente $T=20^{\circ }\text {C}$, quanto calore le devo fornire affinché fonda completamente?

Soluzione: Per rispondere al quesito, abbiamo bisogno di un dato ulteriore che è il calore specifico del piombo $c=128\frac {\text {J}}{(\text {kg}\cdot \text {K})}$. La differenza di temperatura è pari a $\Delta T=300^{\circ }\text {C}$. Pertanto il calore necessario per portare il piombo da $20^{\circ }\text {C}$ a $320^{\circ }\text {C}$ è dato da $Q_1=cm\Delta T$, ossia $Q_1=128\cdot 3\cdot 300\text { J}=1,15\cdot 10^5\text { J}$. Ora per fondere il piombo dobbiamo fornire del calore ulteriore: $Q_2=L_fm=25000\cdot 3\text { J}=75000\text { J}$. In totale, il calore necessario è pertanto

\begin{equation*}Q=Q_1+Q_2=1,9\cdot 10^5\text { J}\end{equation*}

C5
Quesito: Una massa di piombo $m_{Pb}=2\text { kg}$ alla temperatura iniziale $T_{iPb}=300^{\circ }\text {C}$ viene immersa in un recipiente contenete una massa d’acqua $m_{H_2O}=0,5\text { kg}$ alla temperatura iniziale $T_{iH_2O}=95^{\circ }\text {C}$. Calcolare la massa d’acqua che viene vaporizzata.

Soluzione: ll calore specifico del piombo e dell’acqua sono rispettivamente $c_{Pb}=128\frac {\text {J}}{\text {kg}\cdot \text {K}}$ e $c_{H_2O}=4186\frac {\text {J}}{\text {kg}\cdot \text {K}}$. Il calore latente di vaporizzazione dell’acqua è $\lambda_v=2,26\cdot 10^6\frac {\text {J}}{\text {kg}}$. Il calore assorbito dall’acqua coincide col calore ceduto dal piombo, $Q_{H_2O}=-Q_{Pb}$. Il piombo si raffredda passando da $300^{\circ }\text {C}$ a $100^{\circ }\text {C}$ e si ha $Q_{Pb}=m_{Pb}c_{Pb}(100^{\circ }\text {C}-T_{iPb})=-51200\text { J}$. $Q_{H_2O}$ è la somma del calore $Q_1$ necessario a portare l’acqua a $100^{\circ }\text {C}$ e del calore $Q_2$ che fa si che una massa $m$ di acqua evapori. $Q_1=m_{H_2O}c_{H_2O}(100^{\circ }\text {C}-T_{iH_2O})=10465\text { J}$, $Q_2=m\lambda_v$. Perciò

\begin{equation*}m\lambda_v=-Q_{Pb}-Q_1=40735\text { J}\Rightarrow m=0,018\text { kg}\end{equation*}

C6
Quesito: Un proiettile di massa $m_p=10\text { g}$ con temperatura $T_p=0^{\circ }\text {C}$ viaggia alla velocità $v=400\frac{\text {m}}{\text {s}}$ e colpisce un grande blocco di ghiaccio anch’esso alla temperatura $T_g=0^{\circ }\text {C}$. L’attrito col ghiaccio ferma completamente il proiettile. Calcolare quanto ghiaccio si scioglie a causa dell’impatto.

Soluzione: L’energia $E_i$ del proiettile prima di colpire il blocco di ghiaccio è puramente cinetica ed è pari a $E_i=\frac{(m_pv^2)}{2}=800\text { J}=191\text { cal}$. A causa dell’urto il proiettile si ferma di modo che la sua energia finale è nulla, $E_f=0$. L’energia trasferita al blocco di ghiaccio equivale all’energia persa dal proiettile ed è perciò $Q=191\text { cal}$. Il calore $Q$ è in grado di fondere una massa di ghiaccio $m_g$ pari a

\begin{equation*}m_g=\frac {Q}{\lambda_g}=2,4\text { g}\end{equation*}

C7
Quesito: Una parete di area $100\text { m}^2$ ha uno spessore di $20\text { cm}$. Il coefficiente di conducibilità termica vale $k=1\frac {\text { W}}{(\text {m}\cdot \text {K})}$. La temperatura esterna è di $15^{\circ }\text {C}$ inferiore rispetto a quella interna. Quanto calore si disperde verso l’esterno in $3\text { h}$?

Soluzione: In questo caso abbiamo una sola parete. Quindi la formula da utilizzare per la propagazione del calore è $Q=\frac {kA\Delta T\Delta t}{d}$. Ora nel nostro caso $A=100\text { m}^2$, $\Delta T=15^{\circ }\text {C}$, l’intervallo di tempo, in secondi, è $\Delta t=3\text { h}=3\cdot 3600\text { s}=10800\text { s}$, lo spessore della parete è $d=20\text { cm}=0,2\text { m}$ e $k=1\frac{\text {W}}{(\text {m}\cdot \text {K})}$. Pertanto il calore che si disperde in $3\text { h}$ dalla casa verso l’esterno è

\begin{equation*}Q=100\cdot 15\cdot \frac {10800}{0,2}\text {J}=8,1\cdot 10^7\text { J}\end{equation*} [1]

Trasmissione del calore

T1
Quesito: Si vuole calcolare l’emissività di un materiale. A questo scopo si usa un cubo del materiale, di lato $0,3\text { m}$, portandolo alla temperatura di $870^{\circ }\text{C}$. A questa temperatura il cubo irraggia $245\text { cal}$ ogni secondo. Calcola l’emissività di questo materiale.

Soluzione: Iniziamo convertendo la temperatura da gradi Celsius a Kelvin.
\begin{equation*}T=870+273,15=1143,15\text{ K}\end{equation*}

Indichiamo con $E$ la quantità di calore irraggiata dal cubo e convertiamo le calorie in Joule. Dall’uguaglianza $1\text{ cal}=4,186\text{ J}$ otteniamo che:

\begin{equation*}E=245\cdot 4,186=1025,57\text{ J}\end{equation*}

Infine calcoliamo la superficie del cubo, che indichiamo con $A$.

\begin{equation*}A=0,3\cdot 0,3=0,09\text{ m}^2\end{equation*}

A questo punto calcoliamo l’emissività grazie alla formula inversa della legge di Stefan-Boltzman:

\begin{equation*}e=\frac{\frac{E}{\Delta T}}{\sigma \cdot T^4\cdot A}=\frac{\frac{1025,57\text{ J}}{1\text{ s}}}{5,67\cdot 10^{-8}\frac{\text{J}}{\text{s}\cdot \text{m}\cdot \text{K}^4}\cdot 1143,15^4\text{K}^4\cdot 0,09\text{ m}^2}=0,117\approx 0,12\end{equation*}

T2
Quesito: La parete di un forno è costituita da tre strati: il primo strato ha uno spessore di $30\text{ cm}$, il secondo di $10\text{ cm}$ e il terzo di $20\text{ cm}$. I loro coefficienti di conducibilità sono rispettivamente $1,39$, $0,21$ e $0,70$. Determinare il calore disperso per ogni $m^2$ di parete verso l’esterno, ipotizzando una temperatura per la parete interna di $900^{\circ}\text{C}$ e per quella esterna di $60^{\circ}\text{C}$.

Soluzione: Convertiamo per prima cosa la temperatura delle pareti da gradi Celsius a Kelvin.

\begin{equation*}T_1=900+273,15=1173,15\text{ K}\end{equation*}

\begin{equation*}T_2=60+273,15=333,15\text{ K}\end{equation*}

A questo punto indichiamo con $Q$ la quantità di calore da determinare e applichiamo la formula per la conduzione ottenendo:

\begin{equation*}\frac{Q}{A}=\frac{\Delta T}{\frac{L_1}{k_1}+\frac{L_2}{k_2}+\frac{L_3}{k_3}}=\frac{1173,15\text{ K}-333,15\text{ K}}{(\frac{0,3}{1,39}+\frac{0,1}{0,21}+\frac{0,2}{0,70})\frac{m}{\frac{\text{J}}{\text{s}\cdot \text{m}\cdot \text{K}}}}=860\text{ m}^2\end{equation*}

T3
Quesito: La differenza di temperatura alle estremità di una parete piana di $1\text{ m}^2$, di spessore $L_1=10\text{ cm}$ e conducibilità $k_1=5,8$, è di $50\text{ K}$. Determinare lo spessore $L_2$ di una parete di $1\text{ m}^2$ di conducibilità $k_2=0,34$ che determina lo stesso trasferimento di calore allo stesso intervallo di temperatura. Determinare la quantità di calore $Q$ trasmessa al secondo.

Soluzione: Dato che le due pareti hanno la stessa superficie $A$ e trasferiscono la stessa quantità di calore $Q$ allo stesso intervallo di tempo abbiamo che:

\begin{equation*}Q=\frac{A\cdot \Delta T}{\frac{L_1}{k_1}}=\frac{A\cdot \Delta T}{\frac{L_2}{k_2}}\end{equation*}

Possiamo dunque affermare che:

\begin{equation*}\frac{L_1}{k_1}=\frac{L_2}{k_2}\end{equation*}

A questo punto applichiamo la formula inversa.

\begin{equation*}L_2=\frac{L_1\cdot k_2}{k_1}=\frac{0,1\text{ m}\cdot 0,34\frac{\text{J}}{\text{s}\cdot \text{m}\cdot \text{K}}}{5,8\frac{\text{J}}{\text{s}\cdot \text{m}\cdot \text{K}}}=0,0058\text{ m}\end{equation*}

Determiniamo ora la quantità di calore trasmessa al secondo:

\begin{equation*}\frac{Q}{\Delta t}=\frac{k_1\cdot A\cdot \Delta T}{L_1}=\frac{5,8\frac{\text{J}}{\text{s}\cdot \text{m}\cdot \text{K}}1\text{ m}^2\cdot 50\text{ K}}{0,1\text{ m}}=2900\text{ J}\end{equation*}

T4
Quesito: Uno scambiatore di calore di forma cilindrica è isolato termicamente con lana di vetro contenuta da un lamierino di alluminio. Se lo scambiatore ha un diametro di $1,2\text{ m}$ e una lunghezza di $6m$, determina il calore netto scambiato considerando la temperatura esterna del lamierino $60^{\circ}\text{C}$, la temperatura dell’aria $15^{\circ}\text{C}$ e l’emissività dell’alluminio $e=0,04$.

Soluzione: Per prima cosa troviamo il valore della superficie esterna $A$ dello scambiatore di calore.

La superficie laterale sarà:

\begin{equation*}A_l=\pi \cdot d\cdot L=\pi \cdot 1,2\text{ m}\cdot 6\text{ m}=22,62\text{ m}^2\end{equation*}

mentre la superficie delle basi sarà:

\begin{equation*}A_b=2\frac{\pi \cdot d^2}{4}=\frac{\pi \cdot d^2}{2}=\frac{\pi \cdot 1,44\text{ m}^2}{2}=2,26\text{ m}^2\end{equation*}

La superficie totale dello scambiatore di calore è:

\begin{equation*}A=A_l+A_b=22,62+2,26=24,88\text{ m}^2\end{equation*}

Convertiamo ora la temperatura dell’aria e quella esterna del lamierino da gradi Celsius a Kelvin.

\begin{equation*}T_a=15+273,15=288,15\text{ K}\end{equation*}

\begin{equation*}T_l=60+273,15=333,15\text{ K}\end{equation*}

Calcoliamo ora la quantità di calore netto scambiato:

\begin{equation*}Q=\sigma\cdot e\cdot A\cdot \Delta T^4=5,67\cdot 10^{-8}\frac{\text{J}}{\text{s}\cdot \text{m}^2\cdot \text{K}^4}\cdot 0,04\cdot 24,88\text{ m}^2(333,15^4-288,15^4)\text{ K}^4=306\text{ J}\end{equation*} [2]