Dilatazione termica

La dilatazione termica è un fenomeno per il quale all’aumentare
della temperatura corrisponde un aumento del volume dei corpi.
A seconda della forma e delle dimensioni dei corpi si può distinguere
tra dilatazione lineare, dilatazione superficiale e dilatazione volumica. [1]

Ragione molecolare della dilatazione termica

I corpi solidi posseggono una forma e un volume propri dovuti alla loro struttura microscopica, composta da atomi o molecole vincolati all’interno
di un reticolo cristallino rigido che non  permette loro di muoversi liberamente. 

L’unico movimento consentito ad atomi e molecole consiste
in una vibrazione attorno alla loro posizione di equilibrio, detto moto vibrazionale; tale moto è tanto più accentuato quanto maggiore
è la temperatura del corpo, poiché la temperatura è associata all’energia 
di movimento dell’atomo/molecola. 

L’aumento dell’agitazione delle molecole o degli atomi comporta
una maggiore distanza reciproca fra di essi e un conseguente aumento
di volume del solido; al contrario, una diminuzione della  temperatura
si traduce in una diminuzione del moto vibrazionale dei costituenti,
dunque in una  minore distanza reciproca tra essi e conseguentemente
in una riduzione del volume del solido. [1]

Dilatazione termica lineare

Si ha a che fare con la dilatazione lineare quando si può assumere che il corpo in esame sia  essenzialmente unidimensionale

La legge della dilatazione termica lineare è la seguente

\begin{equation*}\Delta L=\lambda L_0\Delta T\end{equation*}

Dove $\Delta L$ è la differenza di lunghezza, $L_0$ la lunghezza iniziale, $\Delta T$ la differenza di temperatura e $\lambda$ il coefficiente di dilatazione lineare. 

La legge può essere riscritta nella formula

\begin{equation*}L=L_0(1+\lambda \Delta T)\end{equation*}. [1]

tabella dilatazione termica lineare a due colonne: sostanza, coefficiente di dilatazione

Dilatazione termica superficiale

Se consideriamo un corpo sufficientemente sottile ma esteso, un corpo il cui spessore è trascurabile rispetto alle altre due dimensioni, allora si può parlare di dilatazione superficiale, dove le dimensioni interessate dal fenomeno sono due, con conseguente aumento della superficie. La legge della dilatazione termica superficiale è la seguente:

\begin{equation*}\Delta S=S_0\sigma \Delta T\end{equation*} 

e può essere riscritta come:

\begin{equation*}S=S_0(1+\sigma \Delta T)\end{equation*}

Dove il coefficiente è $\sigma =2\lambda$, ossia due volte il coefficiente di dilatazione termica lineare. [1]

tabella dilatazione termica superficiale a due colonne: sostanza, coefficiente di dilatazione

Dilatazione termica volumica

La dilatazione volumica, detta anche cubica, è il caso più generale di dilatazione termica nei corpi solidi: consiste in una variazione delle tre dimensioni di un corpo a seguito di una variazione di temperatura.

In realtà, vivendo in una realtà tridimensionale, anche i casi di dilatazione lineare e superficiale non  sono altro che esemplificazioni teoriche trattate come casi particolari della dilatazione volumica. 

La formula della dilatazione volumica è la seguente:

\begin{equation*}\Delta V=V_0\beta \Delta T\end{equation*}  

Dove $V_0$ è il volume alla temperatura iniziale del corpo, $\Delta V$ è la variazione del volume, $\Delta T$ è la variazione di temperatura e $\beta$ è il coefficiente di dilatazione volumica, che dipende dal materiale e  viene determinato sperimentalmente.  

Tale formula può essere riscritta come:

\begin{equation*}V-V_0=V_0\beta (T-T_0)\end{equation*}

da cui ricaviamo la legge finale:

\begin{equation*}V=V_0(1+\beta \Delta T)\end{equation*}

La formula di dilatazione termica stabilisce un rapporto di proporzionalità diretta tra la variazione del volume e la variazione della temperatura.  

I valori del coefficiente di dilatazione termica cubica dei solidi sono sull’ordine di $10^{-5}$ o $10^{-6}$,  mentre quello dei liquidi sono sui $10^{-3}$ o $10^{-4}$: dunque a parità di volume iniziale e di variazione di temperatura, i liquidi si dilatano in misura maggiore dei solidi. [2]

dilatazione di una sfera; esperimento di Gravesande
tabella dilatazione termica volumica a due colonne: sostanza, coefficiente di dilatazione

Correlazione fra i coefficenti di dilatazione

La formula di dilatazione volumica è dimostrabile a partire dalla formula di dilatazione lineare.  Consideriamo un parallelepipedo con dimensioni $l_1$, $l_2$ e $l_3$ e volume $V_0=l_1l_2l_3$.  A seguito di una variazione di temperatura $\Delta T$, le dimensioni diventano

\begin{equation*}L_1=l_1(1+\lambda \Delta T)\text {,               } L_2=l_2(1+\lambda \Delta T)\text {,               } L_3=l_3(1+\lambda \Delta T)\end{equation*} 

Di conseguenza, il volume diventa:

\begin{equation*}V=l_1(1+\lambda \Delta T)l_2(1+\lambda \Delta T)l_3(1+\lambda \Delta T)=l_1l_2l_3(1+\lambda \Delta T)^3=V_0(1+\lambda \Delta T)^3\end{equation*}

Sviluppando il cubo del binomio abbiamo:

\begin{equation*}V=V_0[1+3\lambda \Delta T+3(\lambda \Delta T)^2 +(\lambda \Delta T)^3]\end{equation*}    

I termini $(\lambda \Delta T)^2$ e $(\lambda \Delta T)^3$ sono estremamente piccoli, poiché l’ordine di grandezza di $\lambda$ per i  solidi è $10^{-5}$ o $10^{-6}$, quindi possiamo trascurarli.  

La relazione seguente diventa:

\begin{equation*}V=V_0(1+3\lambda \Delta T)\end{equation*}   

Possiamo dunque concludere che, per i solidi, $\beta = 3\lambda$ 

In modo analogo potremmo dimostrare la formula di dilatazione superficiale a partire da quella di  dilatazione lineare; in tal caso otterremmo che $\sigma = 2\lambda$.  

Anello di Gravesande

L’anello di Gravesande è un esperimento di fisica dei materiali e termodinamica ideato dall’olandese Willem’s Gravesande nel XVIII secolo. 

Lo scopo dell’esperimento è quello di osservare concretamente la dilatazione termica volumica dei corpi osservando la capacità di una sfera di metallo di attraversare un anello prima e dopo suo riscaldamento.

Lo strumento è costruito in modo che la differenza tra il diametro della sfera e quello interno dell’anello sia abbastanza piccola da permettere il passaggio della sfera nell’anello in condizioni di temperatura normali e da impedirlo quando la sfera viene surriscaldata: l’aumento della temperatura della sfera, tramite l’uso di una fiammella, ne ha causato una dilatazione in volume, che ora impedisce alla sfera di attraversare l’anello come prima. [3]

Comportamento anomalo dell'acqua

Il comportamento anomalo dell’acqua si riferisce alle sue variazioni di volume e densità al variare della temperatura, ed è definito anomalo in quanto differisce rispetto al comune comportamento lineare delle altre sostanze.

In particolare l’acqua presenta il minimo volume e la massima densità a 4°C. Se infatti rappresentiamo il volume di una data massa d’acqua in funzione alla temperatura, o otteniamo un grafico del seguente tipo che assomiglia ad un ramo di parabola.

Notiamo che tra i 0 °C e i 4 °C il volume diminuisce per poi cominciare a crescere. In altri termini man mano che l’acqua si raffredda con temperature T tra i 4°C e gli 0 °C si manifesta un aumento del volume fino al congelamento, che avviene a 0 °C; il volume dell’acqua è minimo alla temperatura di 4 °C; ma mano che l’acqua diventa calda con temperature superiore a 4 °C si manifesta un amento del volume fino all’evaporazione, che avviene a 100 °C.

Questo spiega perché, a differenza della maggior parte delle sostanze, lo stato solido dell’acqua presenta una densità minore rispetto a quella dello stato liquido; questa caratteristica è evidente, e spiega perché il ghiaccio può galleggiare sull’acqua.

Il comportamento anomalo dell’acqua ha importanti conseguenze a livello fisico, chimico e biologico; ad esempio, è il motivo per cui d’inverno nei grandi bacini acquatici l’acqua ghiaccia solo in superficie restando liquida al di sotto di essa, permettendo la sopravvivenza di tutti gli organismi che la abitano.
Quando in un bacino l’acqua in superficie is raffredda il suo volume diminuisce e la densità aumenta: quindi l’acqua in superficie, più pesante, va verso il fondo mentre l’acqua più calda va verso la superficie e si raffredda a sua volta: si ha così un rimescolamento e raffreddamento di tutto il bacino.

Quando però l’acqua comincia a raffreddarsi sotto i 4° aumenta di volume e la densità diminuisce, dunque l’acqua in superficie ghiaccia ma galleggia in superficie. Non verificandosi rimescolamento, l’acqua del lago ghiaccia solo in superficie e fa da isolante termico al resto del bacino d’acqua, che rimane sopra i 4°. [4] [5]

Lamina bimetallica

I metalli hanno coefficienti di dilatazione differenti; perciò si dilatano in modo diverso al variare della temperatura.
Questo fatto viene sfruttato nella lamina bimetallica, formata da due strisce di metalli diversi, saldate insieme.
Supponiamo che la lamina abbia un’estremità fissa e l’altra libera: a temperatura ambiente i due metalli hanno la stessa lunghezza; quando la lamina viene riscaldata, uno dei due si espande più dell’altro, provocando una flessione della lamina.

La lamina bimetallica può essere utilizzata per aprire e chiudere un circuito elettrico. Quando la lamina si scalda si incurva e interrompe il passaggio di corrente. Se invece si raffredda, la curvatura diminuisce e chiude di nuovo il circuito. Pertanto, la lamina fa passare corrente oppure no a seconda della sua temperatura. Diversi elettrodomestici (ferro da stiro, scaldabagno, forno elettrico) utilizzano questa proprietà per mantenere la temperatura su un valore desiderato; in tal caso la lamina funziona da termostato.
La lamina bimetallica è molto sensibile alle variazioni di temperatura; perciò è possibile costruire un termometro sfruttando la differenza di dilatazione dei due metalli.
Nei termometri metallici, la lamina è avvolta a spirale: un estremo è fisso, l’altro estremo è collegato a un indice.
Quando la temperatura aumenta, la spirale subisce una torsione e l’indice si muove sulla scala graduata. [6]

fasi di un circuito con lamina bimetallica: sopra il circuito aperto, con la lamina incurvata; sotto il circuito chiuso con la lamina inalterata

Qualche esempio...

Esempio 1

Se poniamo vicino al fuoco una barretta di metallo, la barretta si riscalda e le molecole al suo interno si allontanano tra loro. La barretta, perciò, si allunga. La dilatazione dipende anche dal materiale di cui è fatta la barretta. Ad esempio, se avviciniamo alla stessa fiamma una barretta di rame e una di acciaio, quella di rame si allunga di più.

Per calcolare l’allungamento della barretta $\Delta L$ dobbiamo conoscere:

• la lunghezza iniziale della barretta $L_0$
• il suo aumento di temperatura $\Delta T$ 
• il coefficiente di dilatazione del materiale di cui è composta la barretta $\lambda$ (la sua unità di misura è il $K^{-1}$ oppure il $C^{-1}$).

Avendo questi dati a disposizione, possiamo calcolare l’allungamento $\Delta L$ utilizzando la legge della dilatazione lineare dei solidi: \begin{equation*} \Delta L = \lambda L_0 \Delta T \end{equation*}

ossia

\begin{equation*} (L_f – L_0) = \lambda L_0 (T_f – T_0) \end{equation*}

Da questa legge si vede che a una maggiore variazione di temperatura (quindi una maggiore differenza tra la temperatura finale e quella iniziale) corrisponde una maggiore dilatazione lineare, essendo $\Delta L$ e $\Delta T$ direttamente proporzionali.

schema dilatazione di due sbarre metalliche
torre Eiffel

Esempio 2

La Torre Eiffel costruita nel 1889 da Alexandre Eiffel, è un’imponente struttura in traliccio di ferro.
Sapendo che la torre è alta 301 m alla temperatura di 22°C, calcola qual è la sua altezza se la temperatura si raffredda fina a 0°C. (tratto dal J.S. Walker).

Risoluzione: Per risolvere questo esercizio si inizia facendo una prima approssimazione: si considererà solo l’allungamento lineare (ovvero quello in altezza). La relazione da utilizzare sarà quindi la seguente: \begin{equation*} \Delta L = \lambda L_0 \Delta T \end{equation*}

L’unico ulteriore accorgimento sarà relativo al significato di $\Delta T$. In generale, in fisica, ogni volta che in una formula si incontra un variazione di una grandezza (nel nostro caso $\Delta T$) si intenderà la differenza tra grandezza finale meno quella iniziale.

Nel nostro caso il $\Delta T$ sarà parti alla differenza fra la temperatura iniziale (22°C) e quella finale (0°C) ovvero:
\begin{equation*} \Delta T = -22 °C = -22 K \end{equation*}

Sapendo che il coefficiente di dilatazione lineare per il ferro è pari a $12 \cdot 10^{-6}\text{ K}^{-1}$, si avrà: \begin{equation*} \Delta L = \lambda L_0 \Delta T = -7,9 cm \end{equation*}

Esempio 3

Il Blackbird, che misura 32,76 m, è l’aeroplano più veloce del mondo. Quando atterra dopo un lungo viaggio è tanto caldo che non può essere toccato per circa 30 minuti e inoltre si è allungato di circa 15 cm. 

Calcola la temperatura del Blackbird all’atterraggio, assumendo che il suo coefficiente di dilatazione lineare sia $24 \cdot 10^{-6}$  $K^{-1}$ e che la sua temperatura al decollo sia 23°C. (tratto da J.S. Walker).

Risoluzione: La prima cosa da fare è capire quali sono i dati utili a risolvere il problema e quali sono i dati inutili. Per esempio l’indicazione sul tempo non serve mentre l’informazione sull’allungamento è essenziale. Anche in questo caso si utilizzerà l’approssimazione che considererà solo l’allungamento lineare utilizzando la relazione: \begin{equation*} \Delta L = \lambda L_0 \Delta T \end{equation*}

In particolare si invertirà la relazione ottenendo:

\begin{equation*} \Delta T = \frac{ \Delta L}{\lambda L_0} \end{equation*}

con $\Delta L = 0,15m$, $L_0 =32,15m$

La temperatura dell’aereo all’atterraggio sarà la temperatura finale ovvero:

\begin{equation*} T_f = \Delta T +T_i = 213,8 °C.\end{equation*}

aeroplano Blackbird

Esempio 4

rappresentazione schematica di una bacchetta di rame che si dilata, inserita in una lamina di ottone

Una bacchetta di rame ha un diametro di 10 cm e alla temperatura di 20°C si incastra
perfettamente, attraverso un foro, in una lamina di ottone.
Se la temperatura sia della bacchetta che della lamina viene portata a 1540 °C, la bacchetta sarà ancora perfettamente aderente al foro?
E se no valutare l’ampiezza dell’eventuale fessura che si crea tra la bacchetta ed il bordo del foro.
Si sappia che:
$\lambda$ rame $= 1,7\cdot 10^{-5} °C^{-1}$
$\lambda$ ottone $= 1,9\cdot 10^{-5} °C^{-1}$

Trattiamo il diametro della bacchetta di rame e quello del foro della lamina come corpi soggetti alla dilatazione termica lineare.
In particolare l’allungamento $\Delta L$ vale:

\begin{equation*}\Delta L=L_0\lambda \Delta T\end{equation*}

Calcoliamo pertanto l’allungamento dovuto al riscaldamento prima del diametro della bacchetta e dopo del foro. Inizialmente i diametri misurano entrambi 10 cm.

Dopo l’escursione termica da 20°C a 1540°C:

\begin{equation*}\Delta d_{ rame}=d_0\lambda \Delta T=10\cdot 1,7\cdot 10^{-5}\cdot (1540-20)=0,258 \text { cm}\end{equation*}

\begin{equation*}\Delta d_{ottone}=d_0\lambda \Delta T=10\cdot 1,9\cdot 10^{-5}\cdot (1540-20)=0,289\text{ cm}\end{equation*}
Per cui la differenza tra l’elongazione dei due diametri vale:

\begin{equation*}\Delta d_{ottone}-\Delta d_{rame}=0,289\text{ cm}-0,258\text{ cm}=0,0304\text{ cm}\end{equation*}

Poiché stiamo trattando di forme circolare, dobbiamo dividere per due il risultato appena ricavato per calcolare il valore della fessura ovvero la differenza tra i due raggi delle due circonferenze che una volta dilatate non sono più perfettamente congruenti.

\begin{equation*}d=\frac{0,0304}{2}=0,015\text{ cm}\end{equation*}
In definitiva, una volta riscaldato il sistema alla temperatura di 1540°C, l’ampiezza tra le due circonferenze, quella della bacchetta e quella del foro vale 0,015 cm.